Описание
Ситуационная (практическая) задача № 1
В приближении посевного сезона агрофирма имеет возможность на своих посевных площадях выращивать кукурузу, выращивать пшеницу, выращивать овощи или использовать землю под пастбища. Средняя урожайность этих культур в зависимости от погоды, установленная на основе прошлого опыта приведена в следующей таблице (в ц/га):
| Культура | Погодные условия | |||
| Сильные осадки | Умеренные осадки | Незначительные осадки | Засушливое лето | |
| кукуруза | 30 | 48 | 48 | 29 |
| пшеница | 12 | 28 | 16 | 8 |
| овощи | 209 | 435 | 405 | 115 |
Достоверный прогноз погоды отсутствует и неизвестно, будет ли предстоящее лето засушливым, нормальным или дождливым.
При этом учесть, что цены на продажу 1 ц кукурузы, пшеницы и овощей в следующем году прогнозируются на уровне 2,6, и 1,7, и 0,7 тыс. рублей соответственно.
Выручка при использовании земли под пастбища составляет при различных погодных условиях (в руб./га):
| Сильные осадки | Умеренные осадки | Незначительные осадки | Засушливое лето |
| 1 | 8 | 14 | 1 |
Затраты (в тыс. руб./га) при различных использованиях посевных площадей составляют
| кукуруза | пшеница | овощи |
| 96 | 10 | 100 |
Необходимо найти и пояснить оптимальное распределение земель агрофирмы, позволяющее после продажи урожая получить максимальную гарантированную в среднем прибыль с одного гектара используемых земель.
Требуется:
- Составить игровую математическую модель предложенной ситуации, рассчитав соответствующую платежную матрицу.
- Указать оптимальное распределение земель агрофирмы, наиболее неблагоприятную стратегию природы, и гарантированный максимум прибыли фирмы, решив полученную матричную игру.
Ситуационная (практическая) задача № 2
Две нефтедобывающие страны A и B могут либо действовать порознь, добывая максимальное количество нефти каждая, либо договориться об объемах добычи. Выигрышем считается прибыль страны, которая зависит от объемов добычи. Получается биматричная игра с матрицами:
- Найти равновесие в доминирующих стратегиях, если оно есть.
- Найти все равновесия Нэша.
- Найти оптимум по Парето.
Тестовые задания
1. Укажите соответствие между платежной матрицей и ее седловой точкой.
2. Теорема фон Неймана гласит:
a) любая матричная игра имеет по крайней мере одно оптимальное решение в чистых стратегиях;
b) любая матричная игра имеет ровно одно оптимальное решение;
c) любая матричная игра имеет ровно одно оптимальное решение в смешанных стратегиях;
d) любая матричная игра имеет по крайней мере одно оптимальное решение в смешанных стратегиях.
3. В игре с природой, заданной матрицей укажите наилучшую по критерию максимума стратегию.
a) первая;
b) вторая;
c) третья;
d) четвертая
4. Игра с природой задана матрицей , вероятности состояний природы равны 0,2, 0,5 и 0,3 соответственно. При каких значениях параметра наилучшей по критерию Ходжа-Лемана является первая стратегия?
a) 0,1;
b) 0,4;
c) 0,6;
d) 0,9.
5. Пара чисел (p*, q*) определяет равновесную ситуацию в биматричной игре 2×2, если средние выигрыши E1(p, q) – первого и E2(p, q) – второго игроков удовлетворяют неравенствам:
a) H1(p, q*) ≤ H1(p*,q*), H2(p*,q) ≤ H2(p*,q*);
b) H1(p, q*) ≥ H1(p*,q*), H2(p*,q) ≥ H2(p*,q*);
c) H1(p*, q) ≥H1(p*,q*), H2(p,q*) ≥ H2(p*,q*);
d) H1(p*, q) ≤ H1(p*,q*), H2(p,q*) ≤ H2(p*,q*).
6. Для биматричной игры
укажите все ситуации равновесия по Нэшу:
a) p = (0; 1), q = (1; 0);
b) p = (1/2; 1/2), q = (1/2; 1/2);
c) p = (1; 0), q = (0; 1);
d) p = (1;0), q = (1;0);
e) p = (0;1), q = (0;1);
f) p = (1/3; 2/3), q = (1/4; 3/4).
7. Укажите среди перечисленных функций те, которые не могут быть характеристическими функциями в кооперативных играх:
a) v( ) = 0, v(1) = 1, v(2) = 1, v(1,2) = 2;
b) v( ) = 1, v(1) = 2, v(2) = 1, v(3) = 1, v(1,2) = 3, v(1,3) = 3, v(2,3) = 2, v(1,2,3) = 4;
c) v( ) = 0, v(1) = 1, v(2) = 1, v(3) = 1, v(1,2) = 1, v(1,3) = 2, v(2,3) = 1, v(1,2,3) = 2;
d) v( ) = 0, v(1) = 1, v(2) = 1, v(3) = 2, v(1,2) = 3, v(1,3) = 3, v(2,3) = 4, v(1,2,3) = 6.
8. Установите соответствие между кооперативными играми в характеристической форме и векторами, принадлежащими С-ядру этих игр:
a) v( ) = 0, v(1) = v(2) = v(3) = 0, v(1,2) = 1, v(1,3) = 2,
v(2,3) = 1, v(1,2,3) = 3; 1) X = (1; 0; 2)
b) v( ) = 0, v(1) = 1, v(2) = 1, v(3) = 1, v(1,2) = 2, v(1,3) = 3,
v(2,3) = 2, v(1,2,3) = 4; 2) X = (2; 2; 0)
c) v( ) = 0, v(1) = 1, v(2) = 1, v(3) = 0, v(1,2) = 2, v(1,3) = 2,
v(2,3) = 3, v(1,2,3) = 4; 3) X = (2; 0; 1)
d) v( ) = 0, v(1) = 0, v(2) = 0, v(3) = 0, v(1,2) = 2, v(1,3) = 2,
v(2,3) = 1, v(1,2,3) = 3. 4) X = (2; 1; 1)
9. Как называется позиционная игра, если в любой точке ее партии игрок, делающий ход, точно знает, какие выборы сделаны раньше.
a) игрой с ограниченной информацией;
b) простой игрой;
c) игрой с неполной и3dнформацией;
d) игрой с полной информацией.
10. Рассматривается двухходовая игра с участием двух игроков. Первый ход делает игрок 1, выбирая из альтернатив А и В. Затем игрок 2, зная выбор игрока 1, делает ход выбирая из альтернатив А и В. Далее игрок 1 делает выбор из альтернатив C и D. Следом игрок 2, зная выбор игрока 1, делает выбор из альтернатив C и D. Игра представлена деревом:
Выигрыши игроков по результатам игры, согласно методу обратной индукции составляют:
a) (7; 5);
b) (9; 4);
c) (6; 5);
d) (10; 4).
Библиографический список
